2011年10月12日，甲公司与乙银行签订合同，借款3000万元用于技术改造，期限3年。甲公司以所属10台数控机床向乙银行提供抵押担保，但未办理抵押登记。同时，银行的要求，丙公司为甲公司的前述债务向乙银行提供了连带责任保证，但未约定与抵押担保的责任承担顺序。 后因甲公司厂房坍塌，抵押的9台数控机床毁损，仅1台幸存。银行请求，甲公司又将所属一幅建设用地的使用权抵押给乙银行，为所欠乙银行3000万元借款提供担保。为此，双方于2013年3月10日签订抵押合同，并约定，若甲公司到期不能还款，则该建设用地使用权归乙银行。双方办理了抵押登记。 甲公司为解决流动资金短缺，于2013年4月5日与不知情的丁公司签订买卖合同，将幸存的一台已为乙银行设定抵押的数控机床以500万元的价格出售给丁公司。丁公司于签订合同的次日公司支付了全部价款，并拟子2013年4月12日提货。2013年4月10日，甲公司又将该机床以500万元的价格卖给了不知情的戊公司。戊公司于签订合同的当日提走了该数控机床，并拟于4月底之前将价款支付给甲公司。丁公司前来提货时，发现机床已被戊公司提走，遂以自己是机床所有权人为由要求戊公司返还，被戊公司拒绝。 要求： 根据上述内容，分别回答下列问题： 甲公司与丁公司之间买卖数控机床的合同是否有效？丁公司是否取得了该机床的所有权？并分别说明理由。