在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,直角梯形 AOCD 的顶点 A 的坐标为 (0, ),点 D 的坐标为(1, ),点 C 在 轴的正半轴上,过点 O 且以点 D 为顶点的抛物线经过点 C ,点 P 为 CD 的中点. (1)求抛物线的解析式及点 P 的坐标; (2) 在 轴右侧的抛物线上是否存在点 Q ,使以 Q 为圆心的圆同时与 轴、直线 OP 相切.若存在,请求出满足条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点 M 为线段 OP 上一动点(不与 O 点重合),过点 O 、 M 、 D 的圆与 轴的正半轴交于点 N .求证: OM + ON 为定值. (4)在 轴上找一点H,使∠PHD最大.试求出点H的坐标.